En mangekant med like lange sider kalles et regulært polygon. Hvis hver flis skal møtes kant i kant eller i et punkt er det bare tre muligheter for å lage en heldekkende flate. En regulær trekant, en regulær firkant (kvadrat) eller en reguler sekskant (heksagon). I et punkt møte 6 trekanter, 4 firkanter og 3 sekskanter. Dette mønsteret er invariant og kan flyttes. Invariant er en egenskap til objekt som forblir uendret etter en matematisk transformasjon og regneoperasjon.
Hvis en regulær femkant skal kunne møtes i et punkt må vinkelen være 360o/5=72o. Det er mulig å gjøre dette ved å benytte to romber. En rombe med vinkel 72o og 108o, og en rombe med den halve vinkelen 36o og 144o. Dette gir en Penrose-tesselering.
En median er en linje mellom et hjørne og midtpunktet på motstående side. Medianene skjærer hverandre i et punkt i en trekant og de deles i forholdet 2:1.
Vi lager en vinkel fra et punkt på sirkelen med vinkelbein som skjærer sirkelen. Denne vinkelen, periferivinkel, er halvparten så stor som buelengden.
I en vilkårlig trekant vil høyden fra et hjørne til motstående kant skjære hverandre i et punkt.
Skalarproduktet til to vektorer a og b er lik lengden av vektorene ganger cosinus til vinkelen mellom dem. En skalar har ikke retning.
Sekskantene inneholder henholdsvis 6, 24, 54 og 96 trekanter, hva blir neste tall i rekken ? Hint Sekskanten får doblet størrelse.
\(\text{Antall trekanter}= 6n^2\)
6 24 54 96 150 216 294 384 486 600
Picks teorem
Picks teorem viser en måte å beregne et areal av et polygon som er lagt over et rutenett. Det minner om hvordan man kan måle lengden av en krøllete snor ved å legge den over en grid og telle antall krysninger med rutenettet. Jfr. også Buffons nål.
Picks teorem beskrevet i 1899 av Georg Alexander Pick (1859-1942) sier at man kan finne arealet (A) av et polygon ved å telle antall krysspunkter (i) i nettverket på innsiden, og antall punkter (p) som ligger på omkretsen (perimeter) eller kanten av polygonet. Alle hjørnene i polygonet må falle på et av krysningspunkteneDa vil arealet A målt i kvadratenheter av griden (rutenettet) bli:
\(A=i + \frac{p}{2}-1\)
Her blir arealet:
\(64+\frac{18}{2}-1=72\)
Gjelder ikke for polygoner med hull. Ingen har funnet en tilsvarende tredimensjonal versjon. Pick var jøde og døde 1942 i konsentrasjonsleieren Theresienstadt.
Brouwer fastpunkt teorem
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Som et eksempel kan man ta to papirark med lik størrelse. Det ene krøller man uten å rive i det, og etterpå legger man det oppå det andre, uten å komme utenfor kanten på det nedre ukrøllete papiret. Da vil minst ett av punktene på det krøllete papiret ligge akkurat over det samme punktet på det flate papiret.
For alle funksjoner f er det et punkt x0 slik at f(x0)=x0.
Brouwers hårballteorem
Brouwers hårballteorem sier at hvis enkule er dekket av hår og man forsøker å gre dem alle flatt så vil minst ett hår bli stående opp. Teoremet gjelder ikke en hårete torus, hvor alle kan hårene kan gres flatt.
Jordankurveteoremet
Marie Ennemond camille Jordan (1838-1922) viste at lager man komplekse løkker på en hyssing og legger ned på en flate uten at hyssingen krysser hverandre på noe sted kan det være vanskelig å finne ut om et objekt inne i tauløkken er på innsiden eller på utsiden av løkken. Man finner ut dette ved å talle hvor mange ganger en imaginær linje fra objektet til utsiden på løkken. Hvis linjen krysser et liketall antall ganger så er objektet på utsiden, hvis oddetall så er det på innsiden.
Arkimedes stomachion
Arkimedes stomachion (loculus Arkimedius) er et puslespill (tanagram) fra ca. år 250 f.kr. (fvt.), altså over 2200 år gammelt.
Det finnes i litt forskjellige utgaver. Det matematiske spørsmål er hvor mange måter er det mulig å legge de 14 bitene innenfor kvadratet 12x12 rutenett ? Det skal ha 536 forskjellige løsninger hvis man ser bort fra symmetrier:
Litteratur
Wikipedia